Matematika Ekonomi

Penerapan Deret Aritmatika dan Geometri (Bag 2) – Model Bunga Sederhana dan Majemuk

Di dalam penerapan ekonomi dan bisnis, prinsip-prinsip deret hitung dan deret ukur (Deret Aritmatika dan Geometri) sering digunakan dalam kasus-kasus yang menyangkut perkembangan dan pertumbuhan. Apabila perkembangan atau pertumbuhan suatu gejala tertentu berpola seperti perubahan nilai-nilai suku sebuah deret, baik deret hitung ataupun deret ukur, maka teori deret yang bersangkutan relavant diterapkan untuk menganalisisnya.




Pada tulisan sebelumnya “Penerapan Deret Aritmatika dan Geometri (Bag 1) – Penerapan Ekonomi dan BisnisMatematika” sudah diberikan penjelasan mengenai penerapan deret hitung. Pada bagian ini akan dijelaskan penerapan ekonomi untuk deret ukur. Peneranapan konsep deret ukur dalam ekonomi sering kali digunakan untuk model Bunga Sederhana, Bunga Majemuk dan Model Pertumbuhan Penduduk








Model Bunga Sederhana

Penerapan model bunga sederhana merupakan bagian dari aplikasi ekonomi untuk baris dan deret. Apabila seseorang melakukan investasi dan menerima bunga setiap tahun, maka untuk setiap tahun akan menerima sejumlah uang tertentu dalam jumlah yang sama dari bunga yang diberikan tersebut.
Konsep dasar model bunga mengukur nilai waktu dari uang (time value of money). Maksudnya, apabila seseorang memiliki sejumlah uang tertentu dan mengalokasikan uang tersebut pada bank tertentu, maka jumlah uang yang dimiliki orang tersebut akan berbeda antara nilai sekarang dan nilai di masa yang akan datang. Hal ini terjadi karena terdapat sejumlah bunga yang diberikan oleh pihak bank terhadap terhadap dana yang ditanamkan tersebut.


Bunga merupakan suatu balas jasa yang dibayarkan bilamana kita menggunakan uang. Jika kita meminjam uang dari bank maka kita membayar bunga kepada pihak bank tersebut. Jika kita menginvestasikan uang berupa tabungan atau deposito di bank maka bank membayar bunga kepada kita


Bunga dilihat dari satu pihak merupakan pendapatan tetapi di lain pihak merupakan biaya. Di pihak yang meminjamkan merupakan pendapatan, sedang di pihak yang meminjam merupakan biaya.
Jumlah uang yang dipinjamkan atau diinvestasikan di bank disebut modal awal atau pinjaman pokok(principal).


Misalkan kita berinvestasi P rupiah dengan suku bunga tahunan i, maka pendapatan bunga pada akhir tahun pertama adalah Pi. Sehingga nilai akumulasi tahun pertama adalah P + Pi. Pada akhir tahun kedua adalah P+P(2i). Pada akhir tahun ketiga adalah P + P(3i). Demikian seterusnya sampai pada akhir tahun ke n nilai akumulasinya adalah P+P(ni).


BACA JUGA : Deret Aritmatika dan Geometri – Matematika Ekonomi dan Bisnis


Jadi pendapatan hanya didapatkan dari modal awal saja setiap akhir periode, sehingga nilai dari pendapatan bunga berjumlah tetap setiap tahun. Pendapatan bunga menurut metode ini disebut dengan bunga sederhana (simple interst).

Pendapatan bunga dapat dinyatakan dengan rumus:




I = P.i.n



Untuk memperoleh
nilai dari modal awal yang terakumulasi pada akhir tahun ke-n (Fn)
dapat dihitung dengan cara, modal awal (P) ditambah dengan semua pendapatan
bunga selama periode waktu (n). Dapat dinyatakan dengan rumus berikut:




Fn = P + P.i.n atau Fn = P (I + i.n)



I = Jumlah pendapatan bunga
P = Pinjaman pokok atau Modal awal/Nilai saat ini (Principal) i = tingkat bunga tahunan
n = periode/waktu

Fn = Nilai pada masa ke-n (Future value)


Dalam transaksi bisnis dan keuangan, kita juga perlu memperkirakan nilai sekarang dari suatu nilai masa dating pada jumlah uang tertentu. Jika nilai dari masa yang akan dating (Fn), tingkat bunga (i), dan jangka waktu (n) telah diketahui, maka rumus untuk memperoleh nilai saat ini (P) adalah:




Contoh 1:
Hitunglah pendapatan bunga sederhana dan nilai yang terakumulasi dimasa datang dari jumlah uang Rp. 5.000.000 yang disimpan di bank selama 5 tahun dengan bunga 12% per tahun!
Penyelesaian:
Diketahui: P = Rp. 5.000.000; n = 5; i = 0,12 Ditnyakan: I dan F5
Jawab:
I = Rp. 5.000.000 (5)(0,12) = Rp. Rp. 3.000.000

F5 = Rp. 5.000.000 . (1 + 0,12(5)) = Rp. 8.000.000


Contoh 4:
Modal sebesar Rp. 2.000.000 ditabung di bank dengan bunga sederhana sebesar 15%. Setelah beberapa tahun modal tersebut menjadi sebesar Rp.5.000.000. Berapa tahunkah lamanya modal tersebut ditabung di bank? Penyelesaian:


Diketahui: P= Rp. 2.000.000; i= 0,15; Fn= Rp. 5.000.000 Fn = P. (1 + i.n)
Rp. 5.000.000 = Rp. 2.000.000 .(1 + 0,15n)
1 + 0,15n = 5.000 .000/2.000 .000
1 + 0,15n = 2,5
0,15n = 2,5 – 1
0,15n = 1,5

n = 1,5 : 0,15 = 10 tahun





Model bunga majemuk merupakan penerapan deret ukur dalam kasus  simpan-pinjam dan kasus investasi. Dengan model ini dapat dihitung; misalnya, besarnya pengembalian kredit di  masa datang berdasarkan tingkat bunganya. Atau sebaliknya, untuk  mengukur nilai sekarang dari suatu jumlah hasil investasi yang akan diterima  di masa datang.



Jika misalnya modal pokok sebesar P dibungakan secara majemuk dengan suku pertahun setingkat i, maka jumlah akumulatif modal tersebut di masa datang setelah n tahun (Fn) dapat dilihat pada rumus berikut :


Dimana
Fn = Nilai masa datang
P = Nilai sekarang
i = bunga per tahun
n = jumlah tahun
Jadi, pendapatan bunga yang diinvestasikan kembali pada modal awal untuk setiap permulaan periode disebut dengan bunga majemuk. Pendapatan bunga dari model bunga majemuk ini jumlahnya akan meningkat setiap periode disebabkan karena modal awal yang meningkat setiap permulaan periode.

BACA JUGA : Penerapan Deret Hitung – Model Perkembangan Usaha

Dalam praktek bisnis sehari-hari seperti pada bank-bank komersial, frekuensi pembayaran bunga kepada nasabah dilakukan bukan hanya satu kali dalam setahun, melainkan lebih dari satu kali. Misalnya pembayaran bunga majemuk secara semesteran, kuartalan, bulanan, atau harian.
Frekuensi pembayaran bunga ini dilambangkan (m) kali dalam setahun, maka nilai masa datangnya digunakan rumusan:
Dimana:
Fn = nilai masa datang tahun ke-n P = nilai saat ini/sekarang
i = tingkat bunga per tahun n = jumlah tahun
m = frekuensi pembayaran bunga dalam setahun
Contoh 1:
Bapak James mendepositokan uangnya di Bank sebesar Rp. 5.000.000 dengan tingkat bunga yang belaku 12% per tahun dimajemukkan, berapa nilai total deposito Bapak James pada akhir tahun ketiga? Berapa banyak pula pendapatan bunganya?
Penyelesaian :
Diketahui P = Rp. 5.000.000; i=0.12; n=3 Ditanyakan: F3 dan I
Contoh 2:
Nona Ana ingin menabung uangnya Rp. 5.000.000 dengan tingkat bunga 12% per tahun. Berapakah nilai uangnya di masa dating setelah 5 tahun kemudian jika dibunga majemukkan secara:
  • Semesteran
  • Kuartalan
  • Bulanan
  • Harian Penyelesaian:
Diketahui: P = Rp 5.000.000; i = 0,12; n = 5
Untuk mengetahui nilai uang yang harus diinvestasikan saat ini agar mempunyai jumlah tertentu pada akhir tahun ke-n, dapat diperoleh dengan rumusan berikut:
Jika pembayaran bunga majemuk dilakukan beberapa kali dalam setahun, maka untuk mencari nilai sekarang digunakan rumusan:
SOAL LATIHAN (TUGAS KELOMPOK)

  1. Pak Tedi menyimpan uang di bank sebesar Rp. 2.700.000 dalam Bentuk deposito dengan bunga sederhana 15% per tahun. Jika deposito tersebut jatuh tempo setelah 4 bulan. Tentukan besarnya uang Pak Tedi setelah jatuh tempo!
  2. Hutang si Budi setelah 9 bulan besarnya menjadi Rp. 1.150.000. Jika perhitungan bunga tunggal sebesar 20% pertahun. Hitung besarnya nilai tunai hutang si Budi!
  3. Sebuah modal sebesar Rp. 5.000.000 disimpan di bank dengan bunga tunggal 12,5% pertahun. Beberapa tahun kemudian modal tersebut menjadi sebesar Rp. 7.500.000. Berapa tahunkah lamanya modal tersebut disimpan di bank?
  4. Seorang pedagang membutuhan modal tambahan untuk usahanya sehingga ia meminjam uang sebesar Rp15.000.000,- yang harus dilunasi dalam waktu 9 bulan sebesar Rp 18.375.000,- .Berapa tingkat bunga sederhana tahunan atas pinjaman tersebut?
  5. Seorang pedagang membutuhan modal tambahan untuk usahanya sehingga ia meminjam uang sebesar Rp 15.000.000,- yang harus dilunasi dalam waktu 9 bulan menjadi sebesar Rp 18.375.000,-. Berapa tingkat bunga sederhana tahunan atas pinjaman tersebut?
  6. Tuan X meminjam uang Rp. 1.000.000 pada bank ABC dengan perjanjian bahwa setelah 3 thn kemudian Tuan X harus mengembalikan sejumlah Rp.1.650.000. Hitung berapa persen tingkat bunga majemuk yang dibebankan pada Tuan X?
  7. Dodi mendepositokan uangnya sejumlah Rp. 625.000 pada sebuah bank yang memberikan bunga 15% per tahun yang dibayarkan tiap 6 bulan secara majemuk selama jangka waktu tertentu. Agar pada akhir jangka waktu tersebut Dodi menerima uang sejumlah Rp. 1.000.000. Hitunglah selama berapa tahun Dodi harus mendepositokan uangnya?
  8. Modal sebesar Rp. 200.000 akan dibayarkan 10 tahun kemudian dengan bunga 4% pertahun yang dimajemukkan semesteran. Berapa nilai tunai modal tersebut?
  9. Jika uang sebesar Rp. 2.000.000 ditabung di bank selama 5 tahun dengan bunga 6% per tahun. Berapa jumlah uang tersebut bila dibunga majemukkan secara kuartalan?
  10. Berapa besarkah modal awal jika 5 tahun yang lalu Abdul Karim menyimpankan uangnya di Bank yang pada saat ini ia menerima sebesar Rp 56.086.827,00 dengan suku bunga yang diberikan Bank adalah 9% pertahun dengan sistem pembayaran bunga tiap 4 bulan dengan bunga majemuk.
  11. Mr. Y meminjam uang Rp. 2.000.000 pada Bank ABC dengan ketentuan setelah 3 tahun Mr.Y harus mengembalikan 2.600.000. Hitung berapa persen bunga majemuk yang dibebankan kepada Mr.Y!
  12. Tuan A mendepositokan uangnya sejumlah Rp. 1.000.000 pada sebuah bank yang memberikan bunga 12% per tahun dimajemukkan secara kuartalan. Agar pada akhir jangka waktu Tuan A menerima Rp. 2.250.000. Hitung selama berapa tahun Tuan A harus mendepositokan uangnya? (pembulatan 2 tempat desimal)

No comments yet! You be the first to comment.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *